在計(jì)數(shù)問(wèn)題中有一類題型，讓你求第N期的數(shù)目。這類題目一方面所給選項(xiàng)數(shù)據(jù)較大，可見(jiàn)答案是個(gè)較大的數(shù)，另一方面你會(huì)發(fā)現(xiàn)要想求第N期的數(shù)目，就得順向從第1期，第2期一直推進(jìn)到第N期，而沒(méi)法直接思考第N期的情況。這種情況下，我們往往要考慮歸納法了。
歸納法簡(jiǎn)單說(shuō)就是找規(guī)律，根據(jù)前N-1期呈現(xiàn)的規(guī)律，運(yùn)用到第N期上從而得出答案。而規(guī)律基本有兩種，一種是遞推規(guī)律，即前N-1期經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到第N期的數(shù)值，另一種是數(shù)列規(guī)律，這N期的數(shù)值符合某種數(shù)列規(guī)律。
下面我們通過(guò)幾道題目來(lái)學(xué)習(xí)下歸納法的應(yīng)用。
1. 十階樓梯，小張每次只能走一階或者兩階，請(qǐng)問(wèn)走完此樓梯共有多少種方法？
A.55 B.67 C.74 D.89
這道題要求的是走十階樓梯，我們不可能一上來(lái)就研究十階怎么走，畢竟答案的數(shù)據(jù)很大（有選項(xiàng)得知），所以我們自然的，先從前幾階入手。
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階數(shù) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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方法數(shù) |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
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通過(guò)前五項(xiàng)數(shù)字，我們?nèi)菀子^察到從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。按照這個(gè)規(guī)律，我們就能得出答案：
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階數(shù) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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方法數(shù) |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
所以這道題答案是D選項(xiàng)。
這道題就很符合我們說(shuō)的歸納法的特征，直接求第N期很復(fù)雜，數(shù)很大。而這道題我們找到的規(guī)律是遞推規(guī)律，第N期=第N-1期+第N-2期。
我們?cè)賮?lái)看一道遞推規(guī)律的題目：
2. 用直線切割一個(gè)有限平面，后一條直線與此前每條直線都要產(chǎn)生新的交點(diǎn)，第1條直線將平面分成2塊，第2條直線將平面分成4塊，第3條直線將平面分成7塊。按此規(guī)律將平面分為22塊需：
A.7條直線 B.8條直線 C.9條直線 D.6條直線
直線分平面，給出了前3條直線的情況，我們理所當(dāng)然的應(yīng)該在這里尋找規(guī)律：
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直線數(shù) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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平面數(shù) |
2 |
4 |
7 |
11 |
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通過(guò)對(duì)上表的觀察我們發(fā)現(xiàn)，平面數(shù)4與2相差2，恰好是平面數(shù)4對(duì)應(yīng)的直線數(shù)，后面也是同樣的規(guī)律，于是我們得到：
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直線數(shù) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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平面數(shù) |
2 |
4 |
7 |
11 |
16 |
22 |
可見(jiàn)，6條直線能把平面分成22塊，答案選D。
最后我們來(lái)看一道數(shù)列規(guī)律的題目。
3. 100張多米諾骨牌整齊地排成一列，依順序編號(hào)為1、2、3……99、100。 第一次拿走所有奇數(shù)位置上的骨牌，第二次再?gòu)氖Ｓ喙桥浦心米咚衅鏀?shù)位置上的骨牌，第三次再?gòu)氖Ｓ喙桥浦心米咚衅鏀?shù)位置上的骨牌。依此類推，請(qǐng)問(wèn)最后剩下的一張骨牌的編號(hào)是多少？
A.32 B.56C.64 D.88
我們把每次的剩余都列出來(lái)，從中尋找規(guī)律。第一次剩余2、4、6、8、10……50,都是2的倍數(shù)；第二次剩余4、8、12……48,都是4的倍數(shù)；第三次剩余8、16、32……48,都是8的倍數(shù)。依此類推：第四次剩余16的倍數(shù)；第五次剩余32的倍數(shù)；笫六次剩余64的倍數(shù)。此時(shí)只剩下64,選擇C。
可見(jiàn)，歸納法本身并不復(fù)雜，只要找到規(guī)律即可，也不需要去驗(yàn)證，是種簡(jiǎn)單有效的解題方法。
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