數(shù)量備考干貨：“全能”型方法——十字交叉法

　　在考試過(guò)程中，數(shù)學(xué)運(yùn)算模塊題目主要是通過(guò)代入排除法，數(shù)字特性法，方程法，賦值法求解。但是在考察一些加權(quán)平均數(shù)問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到一些較復(fù)雜的題目，若采用常規(guī)方法——方程法，在列式、求解過(guò)程中難度均較大，求解過(guò)程繁瑣耗費(fèi)寶貴的時(shí)間，此時(shí)如果能掌握十字交叉法，可大大降低題目難度，快速求解出結(jié)果，可視為一種特殊形式的“秒殺”。

　　一、“十字交叉法”介紹

　　“十字交叉法”最初用于解決溶液混合問(wèn)題，求解混合前或者混合后的溶液質(zhì)量或濃度。例如，混合前一種溶液質(zhì)量、濃度分別為A、a，另一種溶液質(zhì)量、濃度分別為B、b;混合后溶液濃度為r，根據(jù)混合前后溶質(zhì)質(zhì)量不變可得：Aa+Bb=(A+B)×r，化簡(jiǎn)可得：，即根據(jù)混合前后濃度的數(shù)據(jù)得出混合前溶液質(zhì)量之比;為了避免如此復(fù)雜的化簡(jiǎn)過(guò)程，可用十字交叉形式代替，如下：

　　，

　　直接可得：。這種方法實(shí)際上是一種簡(jiǎn)化方程的形式，凡是符合Aa+Bb=(A+B)×r的方程形式，都可以用“十字交叉”的形式來(lái)簡(jiǎn)化。

　　二、例題精講

　　【例1】面包房購(gòu)買(mǎi)一包售價(jià)為15元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成濃渡為20%的糖水12千克，然后將剩余的白糖全部加入后溶解，糖水濃度變?yōu)?5%，問(wèn)購(gòu)買(mǎi)白糖花了多少元錢(qián)?( )

　　A.45 B.48

　　C.36 D.42

　　【答案】B

　　【解析】相當(dāng)于12千克20%的白糖水與濃度為100%的白糖溶液混合形成濃度為25%的白糖水。十字交叉形式如下：

　　解得x=0.8。12千克20%的糖水中含糖12×20%=2.4，故白糖一共2.4+0.8=3.2kg�；ㄙM(fèi)為3.2×15=48元。故本題答案為B。

　　三、“十字交叉法”的拓展應(yīng)用

　　“十字交叉法”除了用于求解數(shù)學(xué)運(yùn)算中的溶液混合問(wèn)題，還可以求解平均數(shù)問(wèn)題、折扣問(wèn)題、利潤(rùn)率問(wèn)題、混合比重問(wèn)題;甚至可以用于求解資料分析中的混合增長(zhǎng)率問(wèn)題等;因此被稱(chēng)為“全能”型方法。以上題目均有以下共同點(diǎn)：

　�、俪霈F(xiàn)部分和整體這一類(lèi)關(guān)系;

　　②研究部分和整體的相同指標(biāo)，如濃度、平均分、折扣、利潤(rùn)率、增長(zhǎng)率或比重;

　�、鬯�求比例皆為以上指標(biāo)分母之比。具體應(yīng)用過(guò)程如下所示：

　　【例2】一只松鼠采松籽，晴天每天采24個(gè)，雨天每天采16個(gè)，它一連幾天共采168個(gè)松籽，平均每天采21個(gè)，這幾天當(dāng)中晴天有幾天?( )

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　【答案】C

　　【解析】十字交叉形式如下：

　　晴天是5的倍數(shù)。根據(jù)倍數(shù)特性可知晴天有5天。故本題答案為C。

　　【例3】某超市購(gòu)進(jìn)西瓜1000個(gè)，運(yùn)輸途中碰裂一些，未碰裂的西瓜賣(mài)完后，利潤(rùn)率為40%，碰裂的西瓜只能降價(jià)出售，虧本60%，最后結(jié)算時(shí)總的利潤(rùn)率為32%，碰裂了多少西瓜?( )

　　A.80 B.75

　　C.85 D.78

　　【答案】A

　　【解析】十字交叉形式如下：

　　說(shuō)明碰裂的西瓜占全部西瓜的8%/(92%+8%)=8%，即1000×8%=80(個(gè))。故本題答案為A。

　　【例4】某高校藝術(shù)學(xué)院分音樂(lè)系和美術(shù)系兩個(gè)系別，已知學(xué)院男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的30%，且音樂(lè)系男女生人數(shù)之比為1∶3，美術(shù)系男女生人數(shù)之比為2∶3，問(wèn)音樂(lè)系和美術(shù)系的總?cè)藬?shù)之比為多少?

　　A.5∶2 B.5∶1

　　C.3∶1 D.2∶1

　　【答案】D

　　【解析】本題實(shí)質(zhì)是混合比重，十字交叉如下：

　　即音樂(lè)系總?cè)藬?shù)與美術(shù)系總?cè)藬?shù)之比為2∶1。因此，選擇D選項(xiàng)。

　　【例5】2017年，某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人均消費(fèi)支出37425元，同比增長(zhǎng)6.4%。其中城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出40346元，同比增長(zhǎng)5.5%;農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出18810元，同比增長(zhǎng)8.5%。

　　2017年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民人數(shù)約是農(nóng)村居民的多少倍?( )

　　A.5.2 B.6.4

　　C.6.9 D.7.8

　　【答案】B

　　【解析】城鄉(xiāng)=城鎮(zhèn)+農(nóng)村，當(dāng)知道兩個(gè)部分的平均數(shù)與一個(gè)整體的平均數(shù)，求兩個(gè)部分的人數(shù)之比時(shí)可利用十字交叉法，數(shù)據(jù)位數(shù)較多，截位舍相同處理后，十字交叉形式如下：

　　故本題答案為B。

　　【例6】(山西2014-116)2012年，我國(guó)礦產(chǎn)品對(duì)外貿(mào)易活躍，進(jìn)出口額9919億美元，同比增長(zhǎng)3.6%，其中，進(jìn)口額同比增長(zhǎng)1.4%，出口額同比增長(zhǎng)7.6%。

　　2011年，我國(guó)礦產(chǎn)品進(jìn)口總額約是出口總額的多少倍?( )

　　A.1.5 B.1.8

　　C.2.1 D.2.5

　　【答案】B

　　【解析】2012年進(jìn)口增長(zhǎng)率1.4%，出口增長(zhǎng)率7.6%，以及進(jìn)出口增長(zhǎng)率3.6%，。十字交叉形式如下：

　　可以得出2011年的進(jìn)口額和出口額的比例為4%∶2.2%≈1.8。故本題答案為B。

　　【注】本題所求為基期量之比，等量關(guān)系式：Aa+Bb=(A+B)×r，代入數(shù)據(jù)為：2011年進(jìn)口額×1.4%+2011年出口額×7.6%=2011年進(jìn)出口總額×3.6%。

　　四、注意事項(xiàng)

　　“十字交叉法”在應(yīng)用時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：

　�、儆糜诳焖俳鉀Q兩部分之間比例問(wèn)題;

　　②混合后數(shù)據(jù)居中，對(duì)角應(yīng)為大數(shù)據(jù)減小數(shù)據(jù)后的結(jié)果;

　　③不同類(lèi)型題目應(yīng)準(zhǔn)確區(qū)分A和a;涉及增長(zhǎng)率時(shí)，A、B均代表基期量。

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