數(shù)量老師告訴你：容斥問題其實(shí)并不難

無論是在國(guó)考省考中，還是在各種事業(yè)單位的考試中，容斥問題都是�？嫉念}型。但是考生對(duì)這種題型卻非常的頭疼，無從下手。其實(shí)只要大家掌握了容斥問題的公式，這類題目也就迎刃而解了。

容斥問題主要分為兩集合和三集合這兩種類型。首先兩集合容斥原理的公式為：。對(duì)于此種題型，只需要在題目中將對(duì)應(yīng)量找到代入公式中即可。我們通過一個(gè)例題練習(xí)一下。

【例1】某班有38名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有兩道題，答對(duì)第一題的有26人，答對(duì)第二題的有24人，兩題都答對(duì)的有17人，則兩題都答錯(cuò)的人數(shù)是：

A. 3 B. 5

C. 6 D. 7

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類。

第二步，設(shè)兩題都答錯(cuò)的人數(shù)為x，根據(jù)二集合容斥公式，可得38-x=26+24-17，解得x=5。因此，選擇B選項(xiàng)。

接下來再學(xué)習(xí)一下三集合容斥原理的公式。

標(biāo)準(zhǔn)型：

非標(biāo)準(zhǔn)型：

可以看出這兩個(gè)公式比較相似，那么我們?cè)鯓訁^(qū)分哪一個(gè)題目應(yīng)該用哪個(gè)公式呢?就是看題目當(dāng)中給出的條件的個(gè)數(shù)，如果給出了這樣的三個(gè)條件，那么就用三集合標(biāo)準(zhǔn)型的公式，如果給出了“只滿足兩個(gè)條件的個(gè)數(shù)”這樣的一個(gè)條件，那么就用三集合非標(biāo)準(zhǔn)型的公式。接下來我們通過題目練習(xí)一下吧!

【例2】針對(duì)100名旅游愛好者進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，28人喜歡泰山，30人喜歡華山，42人喜歡黃山，8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山，3人喜歡這三個(gè)景點(diǎn)，則不喜歡這三個(gè)景點(diǎn)中任何一個(gè)的有多少人?

A.20 B.18

C.17 D.15

E.14 F.13

G.12 H.10

【解析】第一步，本題考查容斥原理，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

第二步，因?yàn)轭}目中給出“8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山”這種條件給出了三個(gè)，因此用三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式計(jì)算即可。設(shè)不喜歡任何一個(gè)景點(diǎn)的有x人，根據(jù)公式，得出100-x=28+30+42-8-10-5+3，解得x=20。因此，選擇A選項(xiàng)。

【例3】如圖所示：A、B、C分別是面積為60、170、150的三張不同形狀的卡片，它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為280，且A與B、B與C、C與A重疊部分的面積分別是22、60、35。問陰影部分的面積是多少?

A. 15 B. 16

C. 17 D. 18

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

第二步，設(shè)陰影部分面積為x，由總共蓋住的面積為280，根據(jù)三集合標(biāo)準(zhǔn)公式可得：280-0=60+170+150-22-60-35+x，解得x=17(也可利用尾數(shù)法，計(jì)算尾數(shù)為7)。因此，選擇C選項(xiàng)。

【例4】某班參加學(xué)科競(jìng)賽人數(shù)40人，其中參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有22人，參加物理競(jìng)賽的有27人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有25人，只參加兩科競(jìng)賽的有24人，參加三科競(jìng)賽的有多少人?

A.2 B.3

C.5 D.7

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。第二步，題干“只參加兩科競(jìng)賽的有24人”這種條件只給出了一個(gè)，所以用三集合非標(biāo)準(zhǔn)型的公式。設(shè)參加三科競(jìng)賽的有x人，根據(jù)公式可列方程：40-0=22+27+25-24-2x，解得x=5。因此，選擇C選項(xiàng)。

為了讓大家對(duì)這部分的內(nèi)容掌握的更加深刻，小編也給大家整理了思維導(dǎo)圖，可以保存起來經(jīng)常復(fù)習(xí)一下。祝大家早日成“公”!

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