行測(cè)數(shù)資備考干貨之利用雞兔同籠巧解方程

雞兔同籠是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一 ，早在 《 孫子算經(jīng) 》 中就有了這樣的敘述：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？ 意思是有雞和兔子在一個(gè)籠子里，能看到有35個(gè)頭和94 條腿，問(wèn)有雞和兔子各幾只。 這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)上是一種二元方程，題設(shè)條件包括了不同數(shù)量的頭和腿，那這種問(wèn)題如何快速解決呢？ 這里我們采用假設(shè)法。假設(shè)35個(gè)頭全部都是兔子，那么應(yīng)該有35×4=140條腿。但是現(xiàn)在實(shí)際只有94 條腿，假設(shè)比實(shí)際多了46 條腿。一只雞變成一只兔子會(huì)多出2條腿，那么多出的46 條腿，應(yīng)該是46 ÷ 2 = 23 只雞在假設(shè)的時(shí)候變成了兔子，因此是有23 只雞，而兔子數(shù)量就是35-23=12只。
由此我們對(duì)雞兔同籠問(wèn)題作出引申，當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個(gè)不同的對(duì)象 ，而這兩個(gè)不同的對(duì)象又同時(shí)擁有兩種 不同特性時(shí)，我們就可以使用雞兔同籠的思想來(lái)解決問(wèn)題。如以下兩道例題。

【真題1】 某賽事實(shí)行積分賽制，獲勝積5分，打平積2分，失敗扣1分。已知小輝在20場(chǎng)積分賽后積61分且有3場(chǎng)比賽打平，那么小輝的勝率為 （ ） ：

A. 48% B. 55%

C. 60% D. 75%

【答案】C

【解析】 第一步，本題考查基礎(chǔ)應(yīng)用題， 可用雞兔同籠思想解題。

第二步，由題意可得，獲勝的場(chǎng)次和失敗的場(chǎng)次總共有20－3＝17場(chǎng)，得分為61－2×3＝55分。 本題看似有三個(gè)主體，實(shí)則因?yàn)榻o出平場(chǎng)數(shù)，因此只剩勝場(chǎng)和負(fù)場(chǎng)兩個(gè)不同的對(duì)象，即勝場(chǎng)和負(fù)場(chǎng)分別是“雞”與“兔”。而勝場(chǎng)和負(fù) 場(chǎng)的場(chǎng)次數(shù)和可獲得積分則是這兩個(gè)對(duì)象共同擁有的特性，分別為雞兔同籠問(wèn)題中的“頭”和“腿”。由此假設(shè)17 場(chǎng)全是勝場(chǎng)，求出此時(shí)積分為5×17 =85 ， 比實(shí)際多得了85-55＝30分 。而這個(gè)30 分的差距是由負(fù)場(chǎng)得到，因此用30 的積分差除以單次勝負(fù)場(chǎng)的積分差6，得到負(fù)場(chǎng)數(shù)量為5，再用總場(chǎng)數(shù)17-5 得到勝場(chǎng)數(shù)為12 。 即小輝的勝率為12÷20＝60%。

因此，選擇C選項(xiàng)。

【真題 2 】 小明負(fù)責(zé)將某農(nóng)場(chǎng)的雞蛋運(yùn)送到小賣(mài)部。按照規(guī)定，每送到1枚完整無(wú)損的雞蛋，可得運(yùn)費(fèi)0.1元；若雞蛋有損，不僅得不到該雞蛋的運(yùn)費(fèi)，每破損一枚雞蛋還要賠償0.4元。小明10月份共運(yùn)送雞蛋25000枚，獲得運(yùn)費(fèi)2480元。那在運(yùn)送的過(guò)程中，雞蛋破損了 （ ） 

A.20枚 B.30枚

C.40枚 D.50枚

【解析】 第一步，本題考查基礎(chǔ)應(yīng)用題， 可用雞兔同籠思想解題。

第二步，由題意可得，本題分為好雞蛋和壞雞蛋兩個(gè)對(duì)象， 即雞兔同籠問(wèn)題中的“雞“與”兔” 而這兩個(gè)對(duì)象又有個(gè)數(shù)和運(yùn)費(fèi)兩個(gè)不同的特性 ，即雞兔同籠問(wèn)題中的“頭”與“腿”。先假設(shè)2 5000 枚雞蛋都是好雞蛋，那共應(yīng)得到運(yùn)費(fèi)25000 × 0.4 = 2500 元，與實(shí)際的運(yùn)費(fèi)2 480元差距2500-2480 = 20 元。這20 元的差距由壞雞蛋和好雞蛋的差距得到。每個(gè)壞雞蛋與好雞蛋的運(yùn)費(fèi)差距為0 .4- （- 0.1 ）= 0.5 元，因此壞雞蛋數(shù)量為 枚。

因此，選擇C選項(xiàng)。

【 小結(jié) 】

根據(jù)這兩道題目我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于兩個(gè)主體共同擁有兩個(gè)特性的題目，我們可以利用雞兔同籠的思想，通過(guò)假設(shè)法，不設(shè)未知數(shù)列方程快速解答問(wèn)題。而解答的關(guān)鍵在于，準(zhǔn)確區(qū)分材料中的不同主體與特性，確定可以采用雞兔同籠的思想解決問(wèn)題。

【 思維導(dǎo)圖 】

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