2022省考行測(cè)：容斥問題在資料分析題目中的應(yīng)用

在行測(cè)題目中容斥問題更多的是在數(shù)量關(guān)系這個(gè)模塊對(duì)考生進(jìn)行考察。容斥問題在數(shù)量關(guān)系中一般呈現(xiàn)的形式包括“兩集合”“三集合”和“多集合”。在國(guó)考、省考中多次考察，難度不大。

但是近幾年，資料分析開始陸續(xù)涉及到數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維，容斥問題逐漸的開始應(yīng)用在資料分析中，而且當(dāng)初現(xiàn)在資料分析中時(shí)，題目新穎、邏輯性強(qiáng)，對(duì)考生提出了更高的要求。

容斥問題分狹義理解的容斥問題和廣義理解的容斥問題。

狹義上講，容斥問題是集合和集合之間的相互關(guān)系，而這種關(guān)系需要產(chǎn)生交集。如下圖所示：

圖示分別為兩集合容斥和三集合容斥。

廣義上講，容斥問題中的容是包含的意思、斥是排斥分離的意思。所以如果廣義上講，資料中所有的比重問題其實(shí)都是包含關(guān)系，這也為容斥成為常規(guī)考察項(xiàng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【例1】(2017年北京)

圖2 選擇不同出行方式的考慮因素

問題：下列選項(xiàng)是否正確( )

B.被調(diào)查者中一定有人出行時(shí)間同時(shí)考慮到總耗時(shí)和準(zhǔn)點(diǎn)率因素

【解析】本題便是經(jīng)典的容斥問題。行程總耗時(shí)的占比為57.6%，準(zhǔn)點(diǎn)率的占比為42%，所以兩者加和未超過100%，則不一定有人同時(shí)考慮到總耗時(shí)和準(zhǔn)點(diǎn)率，該選項(xiàng)錯(cuò)誤。

也是一個(gè)巧合，2020年江蘇考察了相類似的一個(gè)題：

【例2】(2020年江蘇)

材料：

問題：2019年春節(jié)期間有“餐飲消費(fèi)”的受訪居民中，一定有人：

A.參加教育培訓(xùn) B.去旅游

C.購(gòu)保健產(chǎn)品 D.購(gòu)數(shù)碼產(chǎn)品、智能家電

【解析】該題和上一題思路完全一致。餐飲消費(fèi)占比70.2%，所以占比相加超過100%必有交集，則只有教育培訓(xùn)符合題意。

【例2】(2017年北京)

材料：

某機(jī)構(gòu)對(duì)2000名在線旅行預(yù)訂用戶進(jìn)行了關(guān)于經(jīng)常選擇的交通方式的抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：

圖1出行最經(jīng)常選擇的交通方式

圖2選擇不同出行方式的考慮因素

問題：下列選項(xiàng)是否正確( )

C.最經(jīng)常選擇地面交通方式出行的人中，超過六成出行時(shí)不考慮天氣因素

【解析】本題難度較大，不少學(xué)生會(huì)以缺乏條件排除該選項(xiàng)，但是這個(gè)題是非常經(jīng)典的容斥問題，可以從正向角度-容斥和反向角度-最值兩個(gè)方向入手，非常具有研究意義。

方法1：容斥角度

地面方式和不考慮天氣因素：其中地面方式占比為1-38.8%=61.2%(非飛機(jī)方式出行)，而不考慮天氣因素的占比為1-34.2%=65.8%，則兩者若有交集(如圖所示)

則交集的數(shù)量占比應(yīng)該是61.2%+65.8%-100%=27%，則不考慮天氣因素的在地面方式出行人數(shù)中的占比為27%/61.2%≈44.1%。所以只能說“最經(jīng)常選擇地面交通方式出行的人中，超過44.1%出行時(shí)不考慮天氣因素”，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤。

方法2：最值角度

地面方式占比為1-38.8%=61.2%(非飛機(jī)方式出行)，地面方式中默認(rèn)一部分人考慮天氣一部分人不考慮天氣。則有：

也就是，不考慮天氣的在地面方式中，最少有27%，最多是全部的61.2%，則不考慮天氣的應(yīng)該是個(gè)范圍量，從27%/61.2%到100%，所以至少44.1%，不應(yīng)該是六成，錯(cuò)誤。

相同的思考方式和出題方式的題目來(lái)源于2020年江蘇，確切說2020年江蘇的題目照搬了2017年北京的題目的思路，對(duì)容斥進(jìn)行了再次的考察。

【例4】(2020年江蘇)

材料：某研究機(jī)構(gòu)從全國(guó)隨機(jī)抽取10個(gè)市的兒童家長(zhǎng)，對(duì)其進(jìn)行“我國(guó)兒童校外生活狀況”的問卷調(diào)查，回收有效問卷15000份。調(diào)查結(jié)果顯示：對(duì)兒童校外生活表示“很重視”的家長(zhǎng)占85%以上，表示“很滿意”或“比較滿意”的占60%;上學(xué)日，兒童日平均使用電子產(chǎn)品用時(shí)43.2分鐘，其中利用電子產(chǎn)品學(xué)習(xí)用時(shí)13.9分鐘，看動(dòng)畫等娛樂用時(shí)16.6分鐘;周末，鄉(xiāng)鎮(zhèn)兒童日平均使用電子產(chǎn)品用時(shí)108.2分鐘，市區(qū)兒童88.4分鐘。

問題：對(duì)兒童校外生活表示“很滿意”或“比較滿意”的家長(zhǎng)中，表示“很重視”的家長(zhǎng)占比可能是( )。

A.53% B.58%

C.63% D.78%

【解析】

方法1：容斥角度

對(duì)兒童校外生活表示“很滿意”或“比較滿意”的家長(zhǎng)和表示“很重視”的家長(zhǎng)：其中對(duì)兒童校外生活表示“很滿意”或“比較滿意”的家長(zhǎng)占比為60%，而表示“很重視”的家長(zhǎng)占比為85%，則兩者若有交集(如圖所示)

則交集的數(shù)量占比應(yīng)該是60%+85%-100%=45%，則對(duì)兒童校外生活表示“很滿意”或“比較滿意”的家長(zhǎng)中，表示“很重視”的家長(zhǎng)占比應(yīng)該大于45%/60%=75%。所以本題選擇D選項(xiàng)。

方法2：最值角度

對(duì)兒童校外生活表示“很滿意”或“比較滿意”的家長(zhǎng)占比為60%，而表示“很重視”的家長(zhǎng)占比為85%，那么“不很重視”的家長(zhǎng)為15%，“很滿意”或“比較滿意”的家長(zhǎng)中默認(rèn)有“很重視”的家長(zhǎng)和“不很重視”的家長(zhǎng)組成。則有：

也就是，對(duì)兒童校外生活表示“很滿意”或“比較滿意”的家長(zhǎng)中，表示“很重視”的家長(zhǎng)最少為45%/60%=75%、至多為60%/60%為100%，所以至少75%，選擇D選項(xiàng)。

2021年國(guó)家公務(wù)員考試也考察了非常有難度的一個(gè)容斥問題，所以大家只能在平時(shí)多積累多思考，爭(zhēng)取在考場(chǎng)上出現(xiàn)這種題目的時(shí)候，能夠快速反應(yīng)，快速解決題目。

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