2022年省考行測(cè)數(shù)量單類解題之《容斥最值問(wèn)題》

所謂容斥最值，即容斥問(wèn)題中涉及最大、最小、至多、至少等形式的設(shè)問(wèn)方式，這一類題目也是最值問(wèn)題的一種，我們通常稱之為容斥最值。

那么遇到這類容斥最值的問(wèn)題時(shí)，我們有沒(méi)有快速的解題方法呢，今天老師帶大家一起總結(jié)一下此類問(wèn)題通常的解題方法，希望能對(duì)各位小伙伴有所幫助。

一、容斥中求最大值

在兩集合的容斥題目中，很少會(huì)出現(xiàn)單純讓求最大值的情況，往往會(huì)作為其中一個(gè)條件求解，我們先來(lái)看一看容斥中求最大值的情況。

引例1.某班級(jí)一共有50名學(xué)生，一次測(cè)驗(yàn)中，數(shù)學(xué)及格的學(xué)生是38人，語(yǔ)文及格的學(xué)生是40人，那么該班語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都及格的學(xué)生最多有多少人?

這道題目不難理解，要想讓兩門課成績(jī)都及格的人數(shù)最多，那么盡可能讓這兩個(gè)集合重合，得到的結(jié)果應(yīng)該是較小的那個(gè)集合的人數(shù)，也就是兩門課都及格的人數(shù)最多是38人。用集合圖示來(lái)表示：

二、容斥中求最小值

容斥問(wèn)題中求最小值是我們考試中經(jīng)常遇到的情形，需要大家重點(diǎn)掌握。我們先來(lái)看一道簡(jiǎn)單的例子。

引例2.某班級(jí)一共有50名學(xué)生，一次測(cè)驗(yàn)中，數(shù)學(xué)及格的學(xué)生是38人，語(yǔ)文及格的學(xué)生是40人，那么該班語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都及格的學(xué)生最少有多少人?

我們可以通俗的想，要讓兩門課都及格的人數(shù)最少，就需要讓兩個(gè)集合交集最小，也就是讓兩個(gè)集合盡量分離開(kāi)。為了能更加形象地表示兩個(gè)集合分離的情形，我們用矩形來(lái)表示集合大小。

通過(guò)圖示可以看出當(dāng)兩個(gè)集合盡可能分離的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)交集的最小值。我們假設(shè)交集最小值為X，那么總數(shù)=語(yǔ)文+數(shù)學(xué)-X，得到X=語(yǔ)文+數(shù)學(xué)-總數(shù)。我們就得到了兩集合容斥最小值公式為兩個(gè)子集和相加減去一倍的全集。

例1.某班有70%的學(xué)生喜歡打羽毛球，75%的學(xué)生喜歡打乒乓球，問(wèn)喜歡打乒乓球的學(xué)生中至少有百分之幾喜歡打羽毛球?()

A.30%B.45%

C.60%D.70%

C【解析】本題屬于兩集合容斥最值問(wèn)題。

根據(jù)之前我們推出的結(jié)論，兩集合的交集最小值等于兩個(gè)子集和之和減去一倍的全集，那么假設(shè)全班一共100人，喜歡羽毛球的70人，喜歡乒乓球的75人，那么兩種球都喜歡的最少是70+75-100=45人。45÷75=60%。因此選擇C選項(xiàng)。

三、推廣應(yīng)用

前面討論的是兩個(gè)集合的情況，那么當(dāng)遇到三集合甚至四集合的情況時(shí)能不能求解呢。當(dāng)然也可以，如果讓我們求解多集合交集的最大值，依然是找這幾個(gè)子集和中最小的那一個(gè)。如果是求三集合交集的最小值，我們可以用三個(gè)子集和加和減去兩倍的全集。用公式表示為：ABC(min)=A+B+C-2總數(shù);

如果是四個(gè)集合求交集的最小值，則可以表示為：

ABCD(min)=A+B+C+D-3總數(shù)。

例2.某中學(xué)在高考前夕進(jìn)行了四次語(yǔ)文模擬考試，第一次得90分以上的學(xué)生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請(qǐng)問(wèn)在四次考試中都是90分以上的學(xué)生至少是多少?()

A.40%B.30%

C.20%D.10%

C【解析】本題屬于四集合容斥最值問(wèn)題。

根據(jù)前面推出的結(jié)論，ABCD(min)=A+B+C+D-3總數(shù)。假設(shè)學(xué)生總數(shù)為100人，在四次考試中都是90分以上的學(xué)生至少為：70+75+85+90-300=20，20÷100=20%。因此，本題選項(xiàng)為C。

通過(guò)上面的詳細(xì)講解希望能對(duì)大家復(fù)習(xí)容斥最值問(wèn)題有所幫助，2022年省考的腳步慢慢逼近了，衷心的祝愿各位在公考路上的小伙伴能夠腳踏實(shí)地復(fù)習(xí)備考，順利通過(guò)筆試進(jìn)入面試，最終實(shí)現(xiàn)自己的夢(mèng)想。

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