2015年甘肅省考試備考指導：從基礎(chǔ)入手解排列組合問題

　　加法原理和乘法原理是解決排列組合與概率問題的基礎(chǔ)，也是最常用、最基本的原理，所以熟練掌握這兩個原理至關(guān)重要。

　　加法原理：完成一件事情，有m類不同的方式，而每種方式又有多種方法可以實現(xiàn)。那么，完成這件事的方法數(shù)就需要把每一類方式對應(yīng)的方法數(shù)加起來。例如：從A地到 B地，坐火車有3種方法，坐汽車有5種方法，坐飛機有2種方法，那么從A地到B地一共應(yīng)該有3+5+2=10種方法。這里從A地到 B地有火車、汽車和飛機三類方式，可使用加法原理。

　　乘法原理：完成一件事請，需要n個步驟，每一個步驟又有多種方法可以實現(xiàn)。那么完成這件事的方法數(shù)就是把每一個步驟所對應(yīng)的方法數(shù)乘起來。例如：從A地到 B地坐飛機需要在C地轉(zhuǎn)機，已知從A地到C地有4種方法，從C地到B地有3種方法。這里從A地到B地，需要分兩個步驟完成，第一步從A地到 C地，第二步從C地到B地，因此從A地到B地有4×3=12種方法。總之，記住：分類用加法原理，分步用乘法原理。有的考生可能在面對具體題目時，不知道什么是分類、什么是分步。實際上，對于分類和分步，可以這樣區(qū)分：在分類的情況下，完成一件事，每一類中的每一種方法都可以達到目的，即都可以完成這件事。在分步計數(shù)中，完成一件事，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事。

　　我們回過頭來看前面舉的那個例子：從A地到 B地，坐火車有3種方法，坐汽車有5種方法，坐飛機有2種方法，那么我們只要任選一種方式，都可以從A地到達 B地，所以這是一個分類的過程;而對于第二個例子，就必須要先到C地，才能到B地，也就是說A-B、B-C這兩步你要都完成了，才能最終成功，所以這是一個分步的過程。

　　例1.現(xiàn)有各不相同的餅干3個，面包4個，小馬要從中選一個，有幾種選法?

　　解析：很顯然，可以按所選食物類別分為兩類：(1)選餅干：有3種選法;(2)選面包：有4種選法。在這兩類中任選一個，都能達到目的，所以用加法原理：共有3+4=7種。

　　例2.從1～4這4個自然數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，可組成多少個兩位數(shù)?

　　解析：要組成兩位數(shù)，十位數(shù)、個位數(shù)，都需要選。可以先選十位數(shù)字，再選個位數(shù)字，顯然，只有這兩個過程都完成了，才能組成兩位數(shù)。所以這是一個分步過程，要用乘法原理。

　　第一步，選十位數(shù)字，在1、2、3、4中選一個，有4種選法;

　　第二步，再選個位數(shù)字，可以在剩下的3個數(shù)中任意選，有3種選法。

　　根據(jù)乘法原理，滿足條件的兩位數(shù)共有：4×3=12個。

　　華圖教育提醒廣大考生注意，在解決問題時，加法原理和乘法原理通常要結(jié)合起來運用，可以說兩個原理在處理問題時相互交織、互相滲透。